Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Страница 5

Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если a и b делятся на c, то a+b и a-b делятся на c. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если c делится на a и на b, то c делится на a+b и на a-b (*). Причина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости – внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.

Задача 5-в. При каких n 3n2+2n+2 делится на 4n+3.

Рассуждения ученика: Так как , то и или Þ Þ .

Если n = – 1, то 4n+3 = – 1, и .

Если n = 0, то 4 – n не делится на 4n+3.

Если n=1, то 4 – n не делится на 4n+3.

Если n = 4, то .

Ответ: n = – 1.

Анализ ошибки: В рассуждениях нет логики, ученик рассматривает лишь некоторые n. Как обстоит дело с оставшимися числами – неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: Þ Þ . Сейчас остается рассмотреть четыре случая 4n+3 = 19; 1; –1; –19. Других вариантов нет.

Задача 3. Докажите, что сумма 2n+1 последовательных натуральных чисел делится на 2n+1.

Рассуждения ученика:

1+2+3+…+(2n+1)=(1+2n+1)(2n+1)/2=(n +1)(2n+1) делится на 2n+1.

Анализ ошибки: Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассуждения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем более, что можно привести пример, когда для нескольких частных случаев свойство выполняется, а в общем не верно.

Например: (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 при n=1, 2, 3, 4, а вот при n=5 выражение (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 6×7×8×9 на 120 уже не делится.

Задача 4. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14.

Рассуждения ученика: 9 = 7 × 1 + 2. 9 = 14 × 0 + 9. Остаток равен 9.

Анализ ошибки: Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение. Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти правильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут неправильными.

В задачах на делимость есть два наиболее часто употребляемых метода решения:

1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюнкция). При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встречается в работах школьников.

2) решение в общем виде. Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств доказывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. Задачи на делимость – это благодатная среда для обучения абстрагированию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Материалы по педагогике:

Критерии оценки качества работы преподавателей
Основными принципами при оценке качества работы являются открытость и коллегиальность, обеспечивающие объективное, гуманное и доброжелательное отношение к преподавателю. Нормативной основой для оценки качества работы преподавателя являются квалификационные требования к должностям профессорско-препо ...

Роль школьного дендрария в учебно-воспитательном процессе
1. Назначение дендрария. Есть просто храм, Есть храм науки, А есть еще природы храм – С лесами, тянущими руки Навстречу солнцу и ветрам. Он свят в любое время суток, Открыт для нас в жару и стынь; Входи сюда, Будь сердцем чуток, Не оскверняй ее святынь. С. Смирнов. Деревья, кустарники и цветы украш ...

Формы преподавания, способствующие развитию навыков самостоятельной деятельности учащихся на уроках
Стремительные изменения во всех сферах жизни общества поставили перед системой образования острые проблемы, от решения которых зависит возможность сохранения и преумножения культурного потенциала страны. Одной из таких проблем является проблема развития самостоятельной деятельности детей в процессе ...

Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Разделы