Образование: теория и практика » Анализ ошибок заочной математической школы » Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Страница 4

§1.

Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:

б) если a и b не делятся на 6, то a+b не делится на 6;

г) если a делится на 6, b не делится на 6, то ab не делится на 6;

д) если a делится на 6, b делится на 10, то ab делится на 60. Смотрите описание Купить кирпич силикатный цена у нас на сайте.

Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.

Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.

Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.

В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a и b, для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.

Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a, которое делится на 6 можно записать, как 6k, где k – некоторое целое число.»

Задача 2. Докажите утверждения:

г) если и , то .

д) если , то .

г) Рассуждения учеников: Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .

Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда a и b не делятся на c. Ученик не учел случай, когда c представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a, на другой делится b. Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3, b=6, c=9. Понятно, что при этом , но ни a и ни b на c не делятся.

д) Рассуждения учеников: Так как и , то .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Материалы по педагогике:

Вопросы методики изучения элементов наглядной геометрии
Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементам ...

Понятие о сказке
"Сказки – не только радость творчества, но и орудие в борьбе за существование… сказка давала и дает лишний пай в артели, лишний стакан водки в "беседе", ночлег и ужин. Сказкой же какой-нибудь скиталец-бедняк завоевал право на временное внимание и уважение". М.К. Азадовский Слово ...

Материалы рефлексии студентов. Подведение итогов
Прошло немного времени. Если считать в академических единицах, то 36 часов лекционных, 12 часов консультаций, 4 экспертных семинара и сложно определяемое время самостоятельной работы студентов. Можно предполагать лишь формы самостоятельного взаимодействия студентов – встреча инициативных групп по р ...

Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ

Разделы